常数空间Invert Binary Tree与仿Morris法后序遍历

今天在地铁上浪费了好多时间……呜呜……做其他事都没有效率,就利用这些时间写字了。

前几天LeetCode的Invert Binary Tree火了。名称有点糟,无法准确描述要求。

主要思路是遍历二叉树,把访问操作修改为交换左右孩子,每个节点都交换一次即可。

如果采用前序或中序遍历,则子树交换发生在遍历某棵子树之前,会引起麻烦。因此我想到了后序遍历,在遍历完子树后再交换左右孩子,重心就是如何实现常数空间复杂度的后序遍历。某些资料/问题称之为Morris post-order traversal。

考虑树遍历的递归算法,一个节点的访问次数为度(孩子数)+1。对于前序遍历,第一次访问产生输出;对于中序遍历,第二次访问产生输出。鉴于输出节点信息的那次访问比较简单,把它和下一次访问合并。

因此前序遍历最多只有两次访问,访问时执行的操作如下:

  • 若左孩子非空则遍历左子树
  • 访问当前节点。遍历右子树

中序遍历相仿:

  • 访问当前节点。若左孩子非空则遍历左子树
  • 遍历右子树

代码如下:

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struct Node { Node *l, *r; void visit(); };
while (p) {
Node *q = p->l;
if (q) {
while (q->r && q->r != p) q = q->r;
if (q->r == p)
q->r = NULL;
else {
if (t == PREORDER)
p->visit();
q->r = p;
p = p->l;
continue;
}
} else if (t == PREORDER)
p->visit();
if (t == INORDER)
p->visit();
p = p->r;
}

定义一个概念,节点x右链表示代码while (x) x = x->r;x指向过的所有节点,最右节点为最后一个不等于NULL(nullptr)x指针值。

遍历完某棵子树后需要回到中序序列的后继。一个左孩子非空的节点会成为当前访问的节点(p)两次。第一次p左子树的最右节点q尚未建立线索,令其右孩子指向中序序列后继p(线索);第二次q的线索存在,指向p,删除之。

对于后序遍历,一个度为2的节点只有在第3次访问时才输出,而Morris in-order traversal算法中一个节点最多只会作为p两次,无法提供3次访问。我们需要挖掘更多的信息。实际上除了根的右链以外的节点都被指向过3到4次:

  • 该节点所在右链的父节点为p时,被变量q指向
  • 第一次被p指向。此时左孩子为空或左子树最右节点的thread不存在
  • 若左孩子非空,会第二次被p指向,左子树右链的thread存在
  • 该节点所在右链的父节点为p时,被变量q指向

如果把第2次变量q指向当作第3次访问,则除了根的右链以外的节点都能被访问2(左孩子为空)或3(左孩子非空)次,如果创建一个虚拟的根,原来的根作为它的左孩子,则根的右链的情况也和其他节点相同了,可以统一处理。

while (q->r && q->r != p) q = q->r;中若倒序输出各个q的值,则得到了后序序列。常数空间复杂度实现倒序输出时需要用到链表翻转的技巧,翻转右链(可以常数空间实现)再沿着链输出,之后再翻转回来(还原)。

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// morris_postorder_traversal的辅助函数
void reverse_right_chain(Node *x, Node *y)
{
Node *p = x, *q = x->r, *r;
while (p != y) {
r = q->r;
q->r = p;
p = q;
q = r;
}
}
void morris_postorder_traversal(Node *p)
{
Node aux;
aux.l = p;
aux.r = NULL;
p = &aux;
while (p) {
Node *q = p->l;
if (q) {
while (q->r && q->r != p) q = q->r;
if (q->r == p) {
reverse_right_chain(p->l, q);
for (Node *r = q; ; r = r->r) {
r->visit();
if (r == p->l) break;
}
reverse_right_chain(q, p->l);
q->r = NULL;
} else {
q->r = p;
p = p->l;
continue;
}
}
p = p->r;
}
}

回到Invert Binary Tree,其实不要求严格的遍历顺序,因此我们不必翻转两次右链达到后序效果:

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class Solution {
public:
TreeNode* invertTree(TreeNode* root) {
TreeNode aux(0), *p = &aux;
aux.left = root;
while (p) {
TreeNode *q = p->left;
if (q) {
while (q->right && q->right != p) q = q->right;
if (q->right == p) {
for (TreeNode *r = p->left; ; r = r->left) {
swap(r->left, r->right);
if (r == q) break;
}
q->left = NULL;
} else {
q->right = p;
p = p->left;
continue;
}
}
p = p->right;
}
return aux.left;
}
};

其他题可以参考LeetCode solutions,持续更新中。